人人都有數學腦: 打破天賦論, 史丹佛頂尖學者裘．波勒帶孩子從學不會到養成多元學習力 | 誠品線上

Math-ish: Finding Creativity, Diversity, and Meaning in Mathematics

內容簡介

內容簡介 過去為什麼大家都認為數學很難，自己沒有數學天賦？過去，在傳統的數學教育、成績掛帥文化中，每一個數學問題，只有一種解法，也只有一個答案。這種文化剝奪也削弱我們思考與學習數學的能力。於是，數學變成智力排名、評判和劃分等級的工具。不只教師、家長，連帶的，學生都覺得成績就代表數學能力，進而，認為自己天生就學不會數學。但，史丹佛大學知名數學教育學者裘．波勒（Dr. Jo Boaler）告訴我們：事實並非如此！「數學是人人需要的基本知識和能力，也是每一個人都能獲致的」。數學不是只有單一解法或答案，裘．波勒指出，任何數學概念都能有多種思考、觀察和解決的方法，善用多元化的方式教授數學，學生就能順利進入數學世界，學會數學，欣賞數學，並運用數學。 那，要怎麼喚起學生的數學腦？過多的考試、錯誤的評鑑方式、誤解數學只有一套解題法，以及對「數學天賦」的錯誤認知等原因，造就學生無法發展數學腦。 裘．波勒認為，我們就要從幫助學生認識數學多樣化著手，從教學到評鑑都需要改變。1. 學習如何學習僵化的數學教育與考試制度下，教師追著教學目標，趕著進度，導致學生只能硬記、死背來學習，無法真正了解所學。為解決這個困境，裘．波勒認為，應從學習「如何學習」開始。學習如何學習，指的是透過去思考「自己認知」的過程，就是去認識、理解、與反省自己的學習，包含對自我的認知（了解自己的能力）、對任務的認知（感知任務的難度） 以及對策略的認知（知道運用策略來學習）。舉例來說，我們常在考試中遇到不會的題目，通常會運用一個技巧，那就是去反推出題者的意圖，思考出題者可能是要考什麼概念，就比較能想出解法。同理，不管是教師或學生，去思考和反省自己教學或學習狀況、內容和解題的方式，就可以更好的「學習方式」。 2. 養成樂於挑戰的心態傳統的教育環境裡，我們時常會看到兩種學習心態上的迷思，第一，掙扎或失敗是一種弱點，頭腦不好的人才會如此。另一個則是，大多數成功的人不會掙扎。長久下來，學生和老師都會認為，掙扎、錯誤和失敗，代表你對某一個學科不行。但，事實正好相反。「正視錯誤正是任何學習最重要的一環」，而且，有掙扎、錯誤和失敗，代表的是，大腦正在發揮令人驚異的活動。「我們面對困難的方式會改變我們的學習方式」，所以將學習心態從固定型心態轉變為成長型心態，養成樂於挑戰的心態，也是養成「數學腦」重要的一步。3. 建立心智模型傳統的數學教育，傾向教導「方法」與「規則」，舉例來說，就是我們常見的，先教公式和算法，再去做大量的題目。這種教學無法讓學生學會數學外，也會讓他們習慣「學習」就是死記，硬背。裘．波勒認為，要學好數學，得從「建立心智模型」開始。心智模型是我們對事物在世界如何運作的思考與解釋。透過這樣的心智模型，我們能對學習到的概念或知識進行思考與審視，從而，幫助我們面對問題時，找到解決問題或執行的方法。以學習數學為例，小時候我們學習數數，老師都會用蘋果或實物來問個數，透過視覺化的表達，我們很快會意識到數數的概念與意義，進而感受到數字與實物的關聯性。在這樣的學習循環認識下，我們可能會形成以下這樣的學習模型：了解概念→學會定義→懂得關聯性→應用。有了心智模型後，就能慢慢構建出自己的學習方式，達到目標。4. 建立練習與回饋的模型為了要鞏固上述三點強化數學多樣化的學習，需要練習與回饋的模型。裘．波勒指出，模型要著重學生的思考、創造力和解決問題的能力，所以練習必須有目的，教師最好著重，能夠幫助學生強化「心智模型」或「概念與關聯性」的練習。在回饋上，則要利用對比案例，給學生應用的題目，針對學生想法給予回饋意見，而非針對學生本身。突破僵化的數學學習後，我們須具備數學腦的三大能力1. 核心數學概念指的是算術，包括四則運算和分數。這個領域的數學，就是大家所說的「數感」。2. 數據素養指的是分析數據和解決問題，包括比、比值等概念，讓人看到一個量相對於另一個量的關係。3. 線性方程描述生活中的事物如何相互關聯的數學領域。數學裡，有什麼能力是職場上最重要的能力？答案是「估算力」。其實，我們日常最需要的數字不用那麼精確。透過大概估算的能力，可以幫我們在日常生活中解決不少問題。更多精彩應用請見本書。專業推薦任維勇 北一女中數學科退休教師李崇建 作家、教育家李國偉 中央研究院數學所退休研究員林怡辰 閱讀推廣人蔡依橙 醫師、素養教育工作坊 核心講師賴以威 台灣師範大學電機系副教授／數感實驗室共同創辦人謝伯讓 腦科學家、《大腦簡史》作者

各界推薦

各界推薦 偶爾有人會挺身而出，發動學習革命，想要徹底改變某個困難學科的教學方法。這正是裘．波勒在數學領域所做的努力。她的策略新穎、明智，而且具有包容性，摒棄一刀切的方式，讓每一個人都能看到數學之美、體驗數學之樂，讓人人都會做數學。這實在是巨大的成就。真的！《人人都有數學腦》是我這輩子唯一一本真心喜歡閱讀的數學書籍。~ 邦妮．嘉姆斯（Bonnie Garmus），《化學課》（Lessons in Chemistry）作者這本書讓我一直想要跳起來，大聲歡呼。波勒教授分享的方法不但令人信服、有證據支持，而且非常實用，在她的啟發下，我修訂了所有的教材，我的教材也變得更豐富。衷心希望每一位教育工作者、學生、家長和政策制定者都能讀這本書。~ 鄭樂雋博士（Eugenia Cheng），數學家、作家、芝加哥藝術學院駐校科學家學生能自由自在、以更廣闊的視角看數學世界，他們的原創思想獲得認可，他們的多重身份受到肯定，如此一來，他們不只會變得更主動學習，思考深度也會增加。波勒教授這本新作能幫助學生悠遊於數學天地，自得其樂，相信自己有數學才華。~ 克莉絲蒂娜．林肯－摩爾（Christina Lincoln-Moore），教育專家，「數學教育中的黑人女性」組織（BWXME）聯合創始人沒有人比裘．波勒更擅長幫助學生愛上數學。她為所有學生熱情倡導，提出文化響應式的數學教學法。這是教育工作者和家長必讀之書。~ 茱莉．李斯寇特－漢姆斯（Julie Lythcott-Haims），紐約時報暢銷書《如何養出一個成年人》（How to Raise an Adult）作者數不清的學生放棄數學。他們從數學課堂學到的最主要的一課是：我不該待在這裡。波勒的新書就是這個問題的回應。她讓我們看到數學是一個浩翰、美麗、互相連結的世界，我們的教學方式可以變得更包容、更有活力。本書要傳達的訊息完全切中核心：數學有你的位置，我們需要你。~ 丹．芬克爾（Dan Finkel），數學家，「愛上數學」組織（Math for Love）創辦人大腦科學正在革新我們的思維方式。直覺、估算、反思和動機激發年輕人，增強他們的數學能力。這本書呈現裘．波勒的熱情、精神和獨特方法，強調包容與接納，幫助老師重新設想，如何讓數學課變得更有趣、活潑。~ 布魯斯．麥坎德里斯（Bruce McCandliss），史丹佛大學教育神經科學教授大多數的孩子都討厭數學，因為他們只看過數學的一小部分。本書揭示數學的視覺和感官層面，訴諸我們的直覺，要求孩子做人，而不是做機器人。《人人都有數學腦》可以修復學生和數學的關係，也能讓你重新愛上數學。~ 丹．梅爾（Dan Meyer），線上繪圖計算機Desmos研究總監在這本令人愛不釋手的書中，裘．波勒揭露多元數學思維的革命性力量，並探討創新教學如何徹底改變所有學生體驗數學的方式。即使你認為自己「沒有數學頭腦」，波勒的洞見將重塑你對教學、學習，甚至對數學本身的看法！~ 凡妮莎．瓦克哈利亞（Vanessa Vakharia），數學大師、數學教育家、數學治療師無論你的立場為何，主流數學教育需要徹底改革。本書是裘．波勒推動學習變革豐富經驗的結晶。她解釋這種變革是多面向的，而且極其關鍵。~ 康拉德．沃夫朗（Conrad Wolfram），《數學改革：計算機時代的教育藍圖》（The Math(s) Fix）作者，computerbasedmath.org創始人 裘．波勒寫的這本《人人都有數學腦》吹響了重新構思數學教育的號角聲。她熱情洋溢地為所有的學習者喉舌，提出一種以視覺和直覺為中心的人性化學習方式，鼓勵學生思考、猜測、探索──讓學生愛上數學、學習數學。這本書要傳達的訊息很明確：在數學冒險中，每一個人都有自己的位置，你也有。~ 史蒂芬．斯托加茨（Steven Strogatz），康乃爾大學數學教授，《無限的力量》（Infinite Powers）作者有繪本《有點樣子》（Ish）、劇集《黑人當道》（Black-ish ），現在還有《人人都有數學腦》！裘．波勒這本新書對我們服務的黑人和棕色人種家庭和學生來說深具啟發性。感謝你在數學公平性改變的故事納入我們！~ 尤蘭達．貝克爾斯（Yolande Beckles），知識商店（The Knowledge Shop）執行董事，美國非裔家長和青年協會（The National Association of African American Parents and Youth）董事長

作者介紹

作者介紹 作者／裘．波勒（Jo Boaler）史丹佛大學數學教育系教授、數學學習網站youcubed共同創辦人、國際學生評量計畫（PISA）分析師，同時也是在MOOC講授數學教學及學習課程第一人，迄今發表九本著作及大量研究論文。波勒曾在白宮、亞斯本思想節（Aspen Ideas Festival）、教育作家協會會議（Education Writers Association conference）、醫學及商業研討會發表演說，也是美國全國數學督導委員會（NCSM）和美國全國數學教師協會（NCTM）舉辦的數學會議專題演講者。媒體爭相報導波勒的研究，包括《紐約時報》、《讀者文摘》、《時代雜誌》、《科學美國人》、《哈清格報告》、《華爾街日報》、CNN、《大西洋月刊》等。2015年創立的數學學習網站youcubed，已觸及超過2.3億名學生，讓教師和家長有機會了解神經科學與數學學習的新知識。BBC推崇波勒為「改變教育面貌」的八位教育家之一。譯者／廖月娟美國西雅圖華盛頓大學比較文學碩士。曾獲誠品好讀報告2006年度最佳翻譯人、2007年金鼎獎最佳翻譯人獎、2008年吳大猷科普翻譯銀籤獎。譯作繁多，包括《賈伯斯傳》、《你要如何衡量你的人生？》、《旁觀者》、《謝謝你遲到了》等數十冊。

產品目錄

產品目錄 第1章 人人都有數學腦第2章 數學腦養成①：學習如何學習第3章 數學腦養成②：樂於挑戰的心態第4章 數學腦養成③：用估算培養「數感」第5章 數學腦養成④：用可視化培養「心像」第6章 數學腦養成⑤：從概念與關聯性切入第7章 數學腦養成⑥：建立練習與回饋的模型第8章 多樣化體驗才是真正的數學致謝注解

商品規格

試閱文字

內文 : 序言
友人邀請我去一家昂貴的餐廳，與英國最大的社群媒體平台執行長及其夫人共進晚餐。餐廳高級、奢華，是典型矽谷名流出入之地。入坐時，我有些惶恐不安，不知這個晚上會如何。這次餐敘是一位友人牽線的，他深知我對數學教學的熱情，也認識那位執行長的夫人，認為那位執行長將對我的志業有所幫助。過去幾年，我都在矽谷生活、工作，知道這種關係是矽谷結構的一部分，也是這個地區創新和生產力增長的一個重要原因。

一開始，我就察覺這次餐敘很不尋常，跟我參加過的任何一場宴會都大異其趣。做東的執行長就像我們這些受邀的賓客不在場似的，不是在講手機，就是在跟他公司的人員交談，忙著擬定工作計畫，還從公事包拿出一疊文件。不管有意或無意，這種行為使我們看起來就像閒雜人等。他的夫人見狀，面露尷尬，數度瞥向旁若無人的老公和他的工作團隊。直到上菜，執行長才不得不把文件收起來，放進公事包裡。飯吃到一半，他才注意到我的存在。他抬起頭來，盯著我，不以為然地說：「所以，你認為我們的數學教育應該改革？」接著，他喋喋不休地告訴我，他的數學有多好，在中學和大學時期拿下多少數學獎項。這時，我察覺到這個人不好對付。多年來，我明知吃力不討好，還是一直努力想要改善數學教學─我知道數學教育改革最大的障礙，正是那些數學好的人。這些人通常認為數學教育不應該改變。他們認為，數學是很難的，他們數學成績優異，足以證明他們高人一等。但是如果你對我有點了解，就會發現我是這樣的人：我願意卯足全力幫助學生，幫他們解決真正的問題。於是，我打算採取我常用的一種策略，讓那位執行長瞧瞧一種不同的數學。我解釋說，神經科學家讓我們得以觀察大腦如何處理數學，尤其重要的一點是，在我們思索數學問題時，大腦哪些部位會變得活躍，特別是大腦的視覺路徑。接著，我問那位執行長是否願意看看一張有趣的數學圖片─我在遇見新朋友時常會這麼做。他同意了。我挑了我最喜歡的一張，也就是數學教育家露絲．帕克（Ruth Parker）繪製的圖片。

這樣的問題通常是用來幫助學生思考「模式增長」，進而使用代數符號來表示這種模式或關係。上數學課時，學生常會碰到這樣的問題：例10 會有多少個正方形？例100 呢？例n呢？這些都是好問題，但如果能激發數學多樣性的思維，則會是更好的問題。

通常，老師在課堂上會要求學生畫出一張數字表，然後盯著這張表格，直到看出其中規律。學生通常會注意到，表上的數字是有規律的，比方說拿其中一個例子來看（如例2），把這個數字加1（變成3），平方之後得到9，就是正方形的數目。透過這個加1 再平方的模式，就可求出任何一個例數的正方形數量。用代數來表示就是 (n ＋ 1)2。這種模式的表達式 (n ＋ 1)2 是一個二次函數。如果學生只是操弄數字和符號，不知其中關聯性或涵義，就會錯過了解數學函數的重要機會。在我的研究中，我改變提問的方式。雖然這只是小小的改變，意義卻很大。我不再問，每一例各有幾個正方形，而是問：你怎麼看這種模式的增長？多出來的正方形在哪裡？這些就是那晚我向執行長提出的問題。

執行長的回答讓我驚訝。他不是看不到增長的模式，他看得到，也能描述給我聽。他說，他看到每一列頂端多出來的正方形。其他人描述說，他看到正方形落在每一列頂端，就像「雨滴」從天而降。圖1.3 顯示這種「雨滴」型態和其他人看到的增長模式。

執行長分享他的看法之後，提出一個問題。我第一次聽到這樣的問題。他問道：「不是每一個人都這樣看嗎？」他的語氣流露出真正的疑惑。我沒告訴他，不是的，每一個人的看法不盡相同，我只是請同桌的每一個人分享他們的看法。於是， 每一個人輪流表達意見，結果發現每一個人都有不同的看法。執行長聽得目瞪口呆，好像從未想過看待數學問題的方式不只一種。他不可置信地搖搖頭，終於把注意力轉移到我們身上。

用不同的方式問問題，打開眼界，用更廣闊的角度來看數學，這點很重要。如果學生只是用狹隘的眼光來解題，就會盯著那張數字表，企圖看出其中的規律，再用代數來表達，也許最後能看出這是 (n ＋ 1)2，還是不明白為什麼是這個二次函數， 也不知道這代表什麼意義。我們問學生，他們如何看出這種圖形模式，經過一番思索，對這個函數，就能有更深的了解，且能透過視覺，看出圖形模式的增長：後一例每一列頂端總是比前一例多一個正方形。最清楚的一例就是圖1.3 的最後一種。這就是為什麼我們用 (n ＋ 1)2 來描述這種增長模式。

我也在這場餐會中分享我非常熱中的一件事。這件事是根植於一件重要的神經研究，也就是數學多樣性的價值。「多樣性」（diversity）意謂不同、差異。在本書，我將用「數學多樣性」一詞，來涵蓋人的多樣性價值（種族、文化、社會等的不同），以及我們看待數學、學習數學的不同方式。我也將用「數學腦」（mathish）一詞來描述利用數學思考現實世界的一種思維方式。對學生來說，這將是一種非常有用的思考工具。如果能擁抱數學多樣性和數學腦的概念，無論一個人的教育程度、性別認同、種族或族裔為何，都可踏入廣大、豐富的數學天地。

研究顯示，學生的多樣性（student diversity）是合作、解決問題、展現同理心、學習成就等的關鍵。1 但研究也告訴我們，如果能用不同的眼光看數學這門學科，了解數學有許多不同的解法，就能增進學習成就，激發學習動機，讓學生覺得數學有趣，更喜歡數學。2 多樣性的兩個層面─人與人之間的差異和數學本身的差異─看似分開獨立，也能以美妙的方式結合，相互增強，相輔相成。我們鼓勵別人和自己有不同的想法並重視這點。可惜，大多數的人只知道狹隘的數學，認為數學都有標準答案。我們該揚棄這種思路，擁抱數學多樣性。

那天晚上，執行長看到的數學多樣性讓他非常震撼。學校和家庭往往缺乏這樣的多樣性，殘害個人與數學的關係，令人從小就討厭數學。有些人數學很好，但學的是狹隘的數學和標準答案。這樣的人，就算數學再高分，也無法掌握整個數學範疇和數學的力量。一個人若是接觸數學的多樣性，就能別具隻眼，以不同的眼光來看每一個與數字、空間和數據有關的情境。

最佳賣點

最佳賣點 : 提到數學，你想到什麼？
．三角函數、微積分、排列組合……全都是無字天書。
．因為數學不好，所以大學科系的選擇受限，感覺自己低人一等。
．數學很可怕，但出社會以後根本就用不到。
數學並不只是生搬照套公式和硬背一個個困難的解法，而是我們用科學方式看待世界所有現象的方法。

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