小學算術教什麼, 怎麼教: 家長須知, 也是教師指南 | 誠品線上

Arithmetic for Parents: A Book for Grownups about Children's Mathematics

內容簡介

內容簡介 這本書是你從新學好小學算術的起點， 也是你幫助孩子認識數學之美的契機。 小學算術是人生最重要的數學課， 你可以不懂微積分， 但你幾乎每天都會用到小學等級的算術， 然而，唯有了解算術的人， 才能真正帶領小朋友， 領略數學之美。 大學數學教授阿哈羅尼為了扭轉小學數學教學， 親自到小學任教， 他這才發現，小學數學可不簡單！ 他在教小學生數學時，竟學到了很多的數學， 他這才明白，原來要教好小學生數學， 重點不在於教學技巧， 而是深入熟悉數學細微的觀念， 這樣才能一步步帶領小朋友進入數學世界。 千萬別看不起小學算術 在巴黎羅浮宮博物院裡，有一件十五世紀的文件相當有趣，那是一位操心的父親與數學家朋友的通信。做父親的詢問，應該把兒子送去哪所大學就讀，數學家回答說A大學還可以，但是如果真心希望兒子瞭解分數，應該把兒子送去B大學。 不錯，僅僅500年前，分數是大學程度才會教的課程！的確，分數（以及相關的比率問題）是小學學習裡最複雜的課題，它的深度不亞於許多大學的課題。──摘自本書〈除法與分數〉 數學到底是哪裡吸引人？ 在二年級班上，我教小朋友一種證明乘法交換律的漂亮方法（這方法我們會在乘法意義那章講到）。有位坐在第一排的小朋友抬頭凝視一會兒，然後低聲說：「真美。」 去問數學家數學這行到底什麼地方吸引他，十之八九會回答是「美」。──摘自本書〈數學之美的祕密〉 應用題很可怕嗎？ 算術課的意義就是教孩子如何把真實生活的情境轉化為算術式子，這是從頭就該教的。如果算術課是這麼學的，並且同時做反向的練習，也就是自己編算術故事，應用題就不會變成讓今日大多數學生害怕的妖怪了。──摘自本書〈數學的意義與應用題〉

作者介紹

作者介紹 ■作者簡介阿哈羅尼（Ron Aharoni）阿哈羅尼是以色列理工學院（Technion–Israel Institute of Technology）數學科學中心教授，主要學術貢獻在無窮組合學。他還出版過若干有關詩、幽默、邏輯悖論、哲學等方面的書籍，在所有非學術作品中，以這本協助家長與教師如何教導小朋友算術的《小學算術教什麼，怎麼教》最受歡迎。阿哈羅尼對於數學教育特別關心，除了親身到小學教書，現身說法寫書，也將一些有關小學數學的材料放在網頁： www2.math.technion.ac.il ~ra education.html。■譯者簡介李國偉1948年生於南京。台灣大學數學系畢業，美國杜克大學數學博士。曾任中央研究院數學研究所所長，中研院數學所研究員，多年來致力於科學普及工作，為天下文化「科學文化」叢書策畫者之一。曾獲李國鼎通俗科學寫作佳作獎、吳大猷科學普及著作獎翻譯類佳作獎。著有《一條畫不清的界線》，譯有《數學教你不犯錯》、《笛卡兒，拜拜！》（與饒偉立合譯）、《電腦也搞不定》、《科學迎戰文化敵手》。

產品目錄

產品目錄 譯者序 小學數學是一中最重要的數學課 李國偉引言 我在小學裡學到什麼第一部：數學的基本要素1-1 數學是什麼？1-2 數學的三種省力法1-3 數學之美的祕密1-4 數學觀念層層相疊1-5 整數1-6 意義與計算1-7 十進位記數法1-8 在小學數學中我們學到了什麼？第二部：通往抽象的道路－－ 算術的教學原則2-1 傳達抽象概念2-2 多樣化與固著2-3 教學為什麼這麼難2-4 誘導2-5 命名魔力2-6 計算機與其他輔助教具2-7 有勇氣求簡第三部：一年級到六年級的算術第A篇 數學的各種意義3A-1 加法的意義3A-2 減法的意義3A-3 乘法的本質3A-4 除法的兩種意義3A-5 數學的意義與應用題第B篇 計算3B-1 加法的計算3B-2 減法：借位或重組3B-3 乘法的計算3B-4 直式乘法3B-5 背起來或重新算3B-6 除法從左邊算起第C篇 分數3C-1 除法與分數3C-2 分數把除法轉為乘法3C-3 關於分數除法的對話3C-4 有關分數的習題（附解答）3C-5 公分母3C-6 最小公分母3C-7 帶分數第D篇 小數3D-1 小數3D-2 小數的計算3D-3 百分數－－ 分數的通用語言第E篇 比率3E-1 比率3E-2 更多比率問題後記附錄：當代數學教育史中的轉折點

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試閱文字

內文 : 1-1 數學是什麼？


自然之書是用數學語言寫成的。──克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630），天文學家





科學的皇后


數學是科學的皇后，而算術是數學的皇后。──高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），數學家





　　在小學二年級的課裡，我想要解釋數的重要性，就給小朋友講個故事，述說有位國王非常痛恨數字，甚至禁止在王國裡使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣，結果發現生活會非常受限制。因為不准提兒童的年齡，所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外，你無法付錢買菜，也無法安排約會，因為你不准提在幾點或幾分。


這只是舉例說明數學在我們生活裡的重要性。隨著文明與技術的進步，我們的生活愈來愈需要倚賴數學。諾貝爾物理獎得主溫柏格（Steven Weinberg）在他寫的《終極理論之夢》（Dreams of a Final Theory）書中，專門花了兩章討論物理以外的題材，一章是數學，一章是哲學。在書中他說，他一再出乎意料的發現，數學多麼有用，而哲學多麼白費氣力。


　　要理解為什麼會這樣，必須理解數學是什麼，這可不是簡單的問題，就連專業數學家也難以回答。羅素（Bertrand Russell）曾經說數學家「都不懂自己在搞什麼。」（他對哲學家的批評更嚴苛，在他的眼裡，哲學家「只是瞎子在暗室裡尋找根本不存在的黑貓。」）他的說法在某種意義上確實為真：就是絕大多數的數學家都懶得自問數學是什麼，確切一點的說，沒想解釋他們到底在忙什麼。


　　想要回答這個問題，我們先從一個簡單的例子來看：3 + 2 = 5的意義是什麼？


　　在一年級班上，我請小朋友檢查3枝鉛筆加2枝鉛筆，結果有多少枝鉛筆。他們懂得「加」的意思就是「放在一起」，因此他們把3枝鉛筆與2枝鉛筆放在一起，然後再數有多少：答案是5枝鉛筆。接著我問：「當你把3枚鈕釦加2枚鈕釦，會得到多少鈕釦？」他們毫不猶豫的回答：「5枚鈕釦。」我再追問：「你們怎麼知道？」「由前一個問題就知道啦！」「但是前一個問題是關於鉛筆，也許會跟鈕釦不一樣啊？」他們就都笑了。這個問題並不是毫無意義的，恰恰相反，它隱含了數學的祕密──抽象。問題裡的東西是鉛筆、鈕釦，還是蘋果，都沒有關係，答案都相同，這也是我們可以抽象的說出3 + 2 = 5的理由。





　　這是基本但具代表性的例子：數學是從思想過程中精煉出來的。很顯然，思想或多或少都是抽象的，然而數學的獨特性在於它把最基本的思想過程抽取出來。在3 + 2 = 5的例子裡，涉及的過程是把東西放一起：3個東西與2個東西。對於這些東西可以問很多問題：是鉛筆還是蘋果？在你手裡還是在桌子上？如果在桌子上，那麼是如何擺放的？數學忽略掉所有這些細節，它要問的問題與這些細節無關，僅僅關於東西放在一起的事實：最終的數量是多少，也就是總共有多少東西？


　　人類能宰制環境的祕密就在於具有抽象思維，抽象的威力幫助我們有效率的活在世上，換句話說，就是可以省點力氣。抽象能幫助我們跨越「此時此地」的局限──此時此地發現的東西，也可以在別的時間與地點使用。如果3枝鉛筆加2枝鉛筆等於5枝鉛筆，那麼蘋果也該這麼加，明天來算也一樣。花一次氣力就能提供整個世界相通的道理。


　　如果一般而論抽象有用，那麼數學會更有用，因為數學把抽象做到極致。於是乎，數學如此有用又切合實際，就不令人吃驚了。


每個人都該學數學嗎？


　　別人在知道我是數學家時，常常會露出一絲苦澀的微笑說：「數學不曾是我的強項。」正因為太多人學習數學的經驗是那麼倍感煎熬，所以每個世代都會問同樣的問題──學數學所為何來？為什麼有必要接受這種折磨？大多數的人是不是應該乾脆放棄學習數學？今日的計算機可以即刻算出各種數學運算結果，學習乘法表或長除法還有什麼意義？


　　有一個答案是，眾多職業都需要用到精確科學的知識，而數學是開啟這些知識的鑰匙。其實數學很重要，並不只是因為要用它來理解實存世界，而是數學能提供更多東西──它教導用精準有序的方式進行抽象思維。它能改善基本的思想習慣，例如區分本質性與非本質性的能力，以及得出邏輯結論的能力。這些能力都是學校教育所提供最有價值的資產。


　　然而還有一個問題沒有回答──為什麼學數學會那麼困難？數學注定要讓人受苦嗎？現在流行的答案是「並非如此」──問題出在教學上。一般的見解是認為，很多遭遇「學習障礙」的孩童，其實是遭遇「教學障礙」，但是問題不可能那麼單純，只是責備教師有點太簡化問題，而且也不合理。任何主張千百年來數學教師都教得一塌糊塗的人，必須為此提出解釋，同時說明為什麼別的科目不會如此。


　　數學教學的特殊問題在於傳達抽象觀念很困難；你能告訴別人智利首都的名字，卻不能幫人們進行抽象化。這是每個人必須親自完成的過程，每個人必須走過從具體到抽象的每一個心理步驟，在這個過程中，教師的角色在於引導學生按照正確順序，逐步完成體驗原理的經歷。這不是容易學的簡單技藝，然而也不是全無可能學會。本書的目標之一，就是模仿蘇格拉底所謂的「接生婆教學法」，逐步介紹一些可用的原則。


（摘自本書1-1章）

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