內容簡介
內容簡介 輔仁大學數學系教授 何清人 推薦 長庚醫院神經科醫師 劉祥仁 推薦 從羅馬數字的起源到人腦內部的運作解析，你可以經由作者的敘述，了解數字和 大腦之間的關聯。 ─發現雜誌（Discover） 作者從歷史、文化、心理學、生物學等不同領域著手，旁徵博引談數字；我們在 這本書中，看到了創意與研究的結合。 ─紐約時報書評（The New York Times Book Review） 這是一本解說清楚；內容生動的書，作者是個真正喜愛數字的人。 ─法國閱讀雜誌（Lire） 《數字感》深入淺出地介紹科學上的最新發現：人腦的運算及記憶能力。書中提 供了解數字感所必具備的背景，以及學習數學的技巧。對老師、心理學家，以及 所有和數字工作有關的人，都是一本必備的參考書。 ─美國奧勒岡大學心理學教授波斯內（Mike Posner） 封底文案： 你手上拿起這本書，可能注意到頁數，也可能留意了定價，你會發現，生活中無 處不與數字相關。 數字感哪裡來？數字感影響了什麼？我們很少去想。 為什麼會有數字？人腦如何算出2+2=4？為什麼有些人就是對數學一籌莫展？ 為什麼傑出的數學家多為男性？這本有趣的數學書，將揭開神祕面紗。 數字的奇妙進化教我們不得不驚奇。 人與生俱來就有數字感，襁褓中的嬰兒就能辨識物體的數量；但是人腦無法容納 大數字，物件一旦超出三，就會增加視覺的負擔和計算的時間，所以各民族的書 寫數字從三之後開始變形，以方便記憶使用；此外，和西歐語文比較起來，中文 是學習數學的最佳語言，而阿拉伯數字是最實用簡潔的書寫系統。 我們常羨慕某些人對數字的天賦異秉，自嘆沒有數字感，其實，天資相當的學生， 可能因為不同老師的不同教法，分別成為數學天才或白癡，興趣或熱情才是決定 數學能力的關鍵。 科學家和醫生為了進一步了解人類的數字感，深入研究腦神經，想一窺大腦主管 數字的區域；書中同時列舉許多臨床案例，證明數字和心智之間的重要關聯。我 們很難想像，一旦大腦受了傷害，就連簡單的數字能力也會消失，2+2可能會等 於3！ 作者簡介： 戴亞奈（Stanislas Dehaene），法國數學家兼神經心理學家，同時也是法國巴黎醫 學健康研究院的研究員。 譯者介紹： 王麗娟 淡江大學西洋語文研究所碩士、美國印第安那大學應用語言學碩士。 目錄: 前言 介紹 第一部 數字本能 1. 天才動物 2. 嬰兒會數數 3. 數字的把戲 第二部 數字的奇妙 4. 亞洲語言的計算優勢 5. 小頭腦做大計算 6. 天才和不凡 第三部 人腦和數字 7. 喪失數字感 8. 人腦中的電腦 9. 數字是什麼？ 書摘: 第4章 亞洲語言的計算優勢 我發現，當我們提及大數字如一千等，大腦事實上對它並無適當的概念，只是我 們有能力透過十進位達到這個數字。 大衛‧修姆 (David Hume) 如果我們對數字的概念類似老鼠的概算累加器，那麼人類對數字一、二、三應也 具有相當準確的概念，但超過三，數字線即開始墜入迷霧。到九時，會開始和八 或十混淆不清。即使我們知道圓周被直徑除是常數π，但我們大腦知道的，是它 代表「約為三」。此種模糊不清，足以讓貨幣系統大亂，更何況是科學與人類社 會領域。 人類究竟是如何脫離這個概算層次的？人類創造數字符號系統的獨特能力，可能 是其中最重要的關鍵因素。我們對大腦構造還不是全盤了解，但我們可以利用這 些符號，作為大腦呈現的工具。語言學符號將世界區分成各自的領域，也讓人類 將它們與確實數字串連在一起，並與它們的近鄰分門別類。若無這些符號，人類 將無從區隔八與九。但因有數字符號，我們能精確的表達思考，如「光速為每秒 兩億九千九百七十九萬二千四百五十八公尺」。從概算轉變成符號的數字呈現， 將是本章試圖闡釋的重點，我將從文化史以及兒童大腦如何天生具備數字語言兩 個角度談起。 數字簡史 人類開始會說話時，可能只會數一、二、或者再加上三。一、二、三是大腦可不 經計算，不費力氣即記錄下來的認知觀念。因此，為這三個數字定名，可能就和 為紅色、大小、冷暖等知覺定名一樣簡易。 語言學家曾蒐集相當多的證據，用以證明頭三個數字的古老與特殊地位。我們知 道許多語言都有主受格與陰陽性的詞類變化，而一、二、三經常是唯一有詞類變 化的三個數字。例如，古德文中的「二」可以寫做「zwei」、「zwo」或是「zween」， 視所計算物體的文法性別而定。頭三個序數也通常有各自的書寫方法，例如在英 文中，大多數的序數是以「 th 」兩個字母結尾（fouth第四，fifth第五等），而 第一「first」，第二「second」，第三「third」的拼法各有不同。 數字一、二、三也是能以文法變化，而不是文字表達的三個數字。在許多語言中， 文字不只存在單數或複數的記號，不同的字尾也被用來區分兩個 (dual) 及兩個 以上 (plural) 的物件。有些語言甚至還有表達三個物件 (trial) 的特殊變化。在 古希臘，「o hippos」代表那匹馬，「to hippo」代表兩匹馬，「toi hippoi」代表不 特定數字的馬匹。但從沒有任何語言在超過三的數字上，發展出任何特殊的文法 變化。 最後，頭三個數字的語源，也是它們已存在相當久遠的一個明證。數字「二」以 及「第二」通常也具有「另一個」的意義，有如動詞中的「排列第二」或是形容 詞中的「其次」。印歐語系中的字根「三」告訴我們，可能曾一度代表最大數， 是「許多」、「除此之外」的同義詞─有如法文中的 tres（非常），義大利文的troppo （過多），英文的 through（整個、全部），拉丁文的字首trans（橫貫、貫通）。 所以，印歐文化的數字可能只有「一」、「一與另一個」（二），以及「許多」（三 與其他）。 今天，我們雖難以想像祖先知道的數字實際上僅有三以下，但也並非真的如此難 以相信。迄今，澳洲的原住民瓦皮利斯族(Warlpiris)的數字觀仍是只有「一」、 「二」、「一些」、「許多」。在色彩領域中，部分非洲語言僅區分黑、白、紅三色。 但我們都知道，此種限制僅存在於字彙。當瓦皮利斯族與歐美人接觸後，很快即 學會英文數字。從此，他們的數字觀不再受限於語言字彙，顯然也不是受制於他 們的基因。雖然與這項主題相關的實驗仍嫌不足，但很可能他們的數量觀念已超 越「三」這個數字，儘管這可能是非口語的，或甚至只是估算的數字。 人類語言究竟是如何超越界限「三」的？進入更先進的數字系統，似乎與計算人 類肢體脫不了關係。所有兒童都能自然發現，他們的手指可以和任何一套物件產 生一對一的對應關係。舉起一根指頭，代表一個物件，舉兩根代表兩件，依此類 推。如此做的一大明顯好處是，手隨時都能派上用場，在此數字系統下，數字是 說話者的手指。 隨著歷史的演進，手指與身體的其他部分形成了一套基礎的數字語言，有些遺世 獨居的部族至今仍沿用此套語言。許多原住民，雖無替代數字三以上語彙的數 字，但手勢卻異常豐富。例如托列斯海峽的土著，以指向他們身體不同部位，用 以代表不同的數字。 (圖4‧1)數十年前，新幾內亞一所學校的老師，看著他們 的原住民學生在上數學課時不斷地扭動身體，覺得很困惑，彷彿計算問題讓他們 全身發癢。事實上，藉由快速的指向身體部位，學童很快便將肢體語言轉換成數 字，雖然老師是以英文教導他們計算。 在較先進的數字系統中，我們不再以指向身體部位的方式表達數字：改以肢體的 名稱，對應不同的數字。在新幾內亞的許多部族中，數字「六」的字面意義為「手 腕」，「九」是「左胸部」。同樣地，在全球無數語言中，從中非到巴拉圭，語源 學中的「五」都是「手」這一字。 在經歷第三階段後，身體數字計算法逐漸蛻變成現代人使用的，所謂「脫離肢體」 的數字語言。以身體為基礎的數字語言受到極大的限制：我們的指頭有限，即使 手腳併用，頂多也只能數到二十。而每學習一個數字，便得學習一個新字，是十 分不切實際的作法。解決之道在創造新造句法，讓較大數字能藉由結合數個較小 數字來表達。 數字造句法可能是身體數字計算法的自動延伸。在一些社會中，如巴拉圭的土 著，數字六不再被命名為「手腕」，而是「另一隻手的一根指頭」。既然「手」字 代表五，根據身體數字計算法的變化，巴拉圭土著將數字六改寫成「五與一」。 依此類推，數字七為「五與二」，直到十為止。數字十為「兩隻手」（兩個五）。 這個簡單的例子暗藏現代數字符號的基本組織原則：土著選擇了一個基數（此處 為數字五），然後以相加或相乘方式，表達較大數字。一旦原則確立，即可沿用 於任意較大數字。以數字十一為例，若按規則組織，它的表達方式可為「兩隻手 與一根指頭」（兩個五與一），數字二十二則是「四隻手與兩根指頭」。 大多數的語言都採用了基數的計算方法，可能是十或二十，而基數的名稱通常來 自較小單位的縮寫。在阿里語中，「 mboona」一字代表十，但它為「moro boona」 （兩隻手）的縮寫。一旦縮寫成為固定形式後，它又可以被運用於更為複雜的結 構中。因此，數字二十一可用「兩個十與一」的方式表達。類似的縮寫過程也說 明了現今英文中的數字十一、十二、十三或五十等數字的不規則結構。這些字一 度曾是簡單的複合字：「一（與）十」、「二（與）十」、「三（與）十」、「五個十」， 之後再被扭曲與縮短。 至於基數二十，可能是古代手腳指並用的結果。這可說明何以同一個字可代表數 字二十，但也同樣具有「一個人」的意義，我們在馬雅或格陵蘭愛斯基摩人使用 的方言中，都可找到這樣的字。例如數字九十三的表達方式為「四個人之後，第 一隻腳的第三個腳指」；雖然它完全不合造句法，但與現今法國的九十三表達方 式為「quatre-vingt-treize」（四乘二十加十三）有異曲同工之妙。透過以上方式， 人類終於學會準確表達所有數字。 數字演變的永久紀錄 除了賦予數字名稱，為數字保留持續性紀錄也十分重要。為求經濟與科學發展， 人類很快便發明文字系統，為事件、日期、數量，交易保留永久紀錄。因此，書 寫用數字符號的發明，可能與語言數字系統的發展同步發生。 為能了解數字文字系統的起源，我們須回到時光隧道。在後舊石器時代文化時期 （西元前三萬五千至兩萬年）的數塊骨頭上，我們發現人類書寫數字最古老的方 法：切口。這些骨頭被刻上一系列平行的切口，有時則以一小束分組。人類最早 可能是記錄狩獵的斬獲，每一切口代表一隻動物。在解讀一塊骨板上的切口後， 根據切口的週期性結構，我們判定這塊骨板可能是月曆，用來計算兩次月圓之間 有多少日子。（圖4‧2） 一對一的對應原則在全球各地被重複沿用，成為數字紀錄最根本、最簡便的原 則。蘇美人以珠子計物，印加人以結繩記事。羅馬人利用直線代表前三數字。即 使是在現代，有些麵包師還是會利用木棍上的切口，作為客人賒帳的紀錄。「計 算」這一字源自拉丁文的 calculus，原意是「小圓石」，也讓我們回到算盤上移 動圓珠計算數字的年代。 儘管一對一對應原則簡單不已，但確實是項非凡的發明。它成為可靠、準確、抽 象的數字代表。一排切口成為抽象的數字符號，代表任何物件的集合，可以是牲 口、人丁、欠款，或滿月，同時協助人類克服概念的限制。人類和鴿子一樣，都 無法區分四十九個與五十個物件的不同。但刻有四十九個切口的木棍能將數字準 確地永久記錄下來。一對一對應關係因此能在數字大到超越人類大腦的記憶範 圍，提供準確的數字呈現。 不過，一對一對應原則顯然也有不足。一長排一長排的切口其實並不方便閱讀或 書寫。我們說過，人類視覺系統在瞥一眼時，無法理解超過三以上的數字。因此， 三十七個切口和三十七隻羊一樣，無法一眼數出！所以，人類又設法將單調的長 排切口加以分組，創造出新符號，有效地將龐大數字分割成易於一眼閱讀的數 字。這正是我們將五個切口分成一組，讓它們成為易於辨識小組的由來。因此， 數字二十一成為IIIII IIIII IIIII IIIII I，比IIIIIIIIIIIIIIIIIIII易於辨識得多。 儘管如此，這套系統只方便紙上作業，在木棍上刻直切口，不見得容易。在木頭 上刻，從某些角度下手，會覺得容易得多，這正是數千年前牧羊人所用方法的由 來：他們不約而同地選擇了以斜線製成的符號如Ⅴ或Ｘ，代表數字五與十。不錯， 這也正是羅馬數字的來源。它們的幾何圖形取決於如何能夠以最容易的方式刻上 木棍。不同的書寫媒介產生不同形狀的數字符號。例如，在軟泥片上書寫的蘇美 人，即是以筆能夠書寫的最簡單形狀，建立他們的數字系統﹕圓柱或圓形切口， 以及著名的指甲狀或「楔形」文字。 將這些數字符號再做增加，又有新數字系統形成。在羅馬符號中，數字七的寫法 為五加一加一 (VII)。根據此一相加原則，數字的價值等於結合在一起的數字， 此一系統日後成為許多數字符號的基礎，包括埃及、蘇美人、阿茲特克人使用的 數字。累加符號非但省時且省空間。數字三十八在一對一對應原則下應是三十八 個形狀完全一致的切口，但現在只須動用七個羅馬數字（ 38＝10＋10＋10＋5 ＋1＋1＋1 或 XXXVIII）。然而，閱讀與書寫大數字仍是一項繁瑣工作，有必要 再加以緊縮，因此出現了特殊符號如L（五十）與Ｄ（五百）。如果我們將一至 九，十至九十，一百至九百都以個別的符號代替，即能避免重複的問題。希臘與 猶太人便採用了這項方法，利用字母來替代數字。在此技巧下，三百四十五的數 字即可以三個字母來代表（希臘文中的 TME 為300＋40＋5）。不過，使用者也 因此付出相當的代價：他們必須記憶二十七個符號的數字價值，以便表達一至九 百九十九的數字。 顯然，光有相加原則仍無法表達非常大的數字；因此，乘法也就成為不可或缺的 一環。第一個混合符號，將加法與乘法混合使用，約在四千年前出現於美索不達 米亞。表達數字三百時，如果使用羅馬符號，須將一百的符號重複三次（ＣＣＣ）， 但馬利市的居民則只簡單地在「三」這個符號後，再放上一個「一百」的符號。 不夠完美的是，在書寫個位與十位數時，他們仍是使用加法原則，因此在數字符 號表現上仍是不夠精簡。例如 2342 這個數字，他們寫成「1＋1個千，1＋1＋1 個一百，10＋10＋10＋10，1＋1」。 乘法原則的優點在後來的數字符號中獲得改善。尤其是五千年前，中國發明了完 美的規則性符號，且一直保存至今。整套系統只有十三個獨立符號，分別是數字 一至九，以及十、百、千、萬。數字 2342 可簡單寫成「2 1000 3 100 4 10 2」， 等於是將口頭敘述逐一寫成「兩千三百四十二」（四十在中文是四個十）。此種寫 法，在此階段下，成為口頭數字系統的直接反映。 位值原則 位值原則是擴大數字符號功能的最後一項發明。我們讓數字符號遵守位值原則 後，數字符號在不同的位置即可代表不同的數量。例如三位數222，雖然三個數 字符號相同，但因順序不同而有大小之分。在位值符號中，必須有一基數。現今 我們以十為基數，但這並非唯一選擇。數字中的連續位置，代表基數的乘方。如 個位數為十的零次乘方等於一，十位數為十的一次乘方等於十，百位數為十的二 次乘方等於一百，依此類推。任何特定數字的數量都是將數字乘以基數的乘方， 然後將乘積相加。因此數字328代表的量數為 3×100＋2×10＋8×1。 如果人類希望能以最簡單的演算執行計算，位值代碼絕對是必要的發明，否則不 妨將羅馬數字 XIV 乘 VII 看看！希臘的字母符號演算也同樣不方便，例如無 從知道數字Ｎ（五十）是數字Ｅ（五）的十倍。這也是羅馬與希臘人在計算時非 得借助算盤的主因。相反的，阿拉伯數字，在位值原則下，將五、五十、五百、 五千的數量關係完全透明化。位值符號協助人類將乘數的複雜性降低，成為九九 乘法表的記憶。它們讓數字計算的藝術改觀。 雖然有四個文化發明位值符號，但其中三個都未能發展成與現今阿拉伯數字一樣 簡單易學的符號。因為這套位值符號唯有與其他「零」的符號、一個特定的基數、 放棄數字一到九之間的加法原則三項發明並用時，才能達到最高效能。例如，最 早的位值系統是西元前一千八百年巴比倫天文學家發明的。他們使用的基數是六 十，因此數字如四萬三千三百四十五，相等於十二乘六十的二次方加上二乘六十 加上二十五，最後表達出來的連結符號為十二、二，與二十五。 原則上，這套系統須要使用六十個符號，代表零至五十九的數字。但學習六十個 不同數字並不切實際，於是，巴比倫人又利用基數十與加法，表達六十以下的數 字。例如數字二十五的表達方式為 10＋10＋1＋1＋1＋1＋1。將位值代碼與加法 以及兩個基數混合使用，結果過於複雜，最後變成只有受過教育的精英分子能夠 理解。話雖如此，在當時卻仍是一套相當先進的數字系統。巴比倫天文學家利用 這套系統從事天體的計算，準確度千餘年後仍無人能及。 以今天的標準而定，巴比倫人數字系統的一大缺點為：十五個世紀以來，始終缺 乏「零」。「零」有何用？它是位置持有者，代表多位數中某一特定位置空無一物。 例如在阿拉伯數字中，五百零三代表五個一百、零十，與個位數三。因無零的符 號，巴比倫科學家於是在應有數字出現的位置上留下空白。但這個有意義的空白 卻一再成為亂源。例如數字三百零一（五乘以六十加一）、一萬八千零一（五乘 以六十的二乘方加一）、一百零八萬零一（五乘以六十的三乘方加一）的表達方 式分別為：51,5 1（五與一之間有一個空白），5 1（五與一之間為兩個空白）。 因此，少了零容易於造成計算錯誤。更糟的是，孤立的數字如「一」具有多重意 義。它可能代表數量「一」，或是「一個空白之前的一」，亦即「一乘六十」，或 甚至是「兩個空白之前的一」，亦即「一乘六十的二乘方等於三千六百」等。此 時我們唯有從上下文才能得知何者才是正確解讀。直至西元前三世紀，巴比倫人 才引進一個符號填補這個缺口，明白指示空白的單位。但即使是在那時，這樣的 符號也只被當作位置持有者，仍不具備「零數量」或「小於一整數」的意義，但 今天，我們已賦予「零」這兩重意義。 雖然巴比倫天文學家的位值符號，隨著巴比倫文化沒落而消失，其他三個文化之 後重新發明類似的一套系統。中國科學家，在西元前二世紀時，設計出無「零」， 且合併使用「五」與「十」兩個基數的一套位值代碼。馬雅天文學家在第一個千 禧年的後半期，發明了混用「五」與「二十」兩個基數的數字系統，但已有一個 發展齊全的數字「零」。印度數學家則遺贈人類基數「十」的位值符號，也是現 今全球普遍使用的數字符號。 我們將這套符號名之為「阿拉伯數字」，其實有失公允，因它原始是印度文明的 產物。我們稱數字符號為「阿拉伯數字」，純粹是因西方世界首次知道它，是透 過偉大波斯數學家的數學著作。許多現代的數字計算技術都取自波斯科學家的作 品，「演算」這個名詞也是撿拾其中一位科學家庫瓦瑞茲米 ( Mohammed ibn Musa al-Khuwarizmi ) 的牙慧。他的最知名著作是與一次方程式相關的論文「論 減少與簡化」，此書為奠定新科學「代數」基礎的論述之一。不過，若不是印度 數字符號的協助，波斯人的發現將永不見天日。 我們應該感謝印度符號的一項獨特發明，也是所有其他位值系統付之闕如的：選 擇十個任意數字，且形狀與所代表的數量並無關連。乍看下，使用不同形狀的數 字是一項缺點。一連串的線條似乎更能讓數字一目了然，也更易於學習。或許這 正是蘇美、中國、馬雅科學家在創造數字系統時，隱藏其後的邏輯。但在此之前， 我們已說明這是一項誤解。人類計算五個物件的時間，要比記憶任意形狀與它所 代表的意義來得長。人類知覺器官的處理方式，可以很快地吸收某一特定形狀的 意義，也是我所謂的「理解反射」，且因此被充分利用於印度─阿拉伯位值符號 中。這套數字工具，因其具有十個能夠輕易區隔的數字，密切符合人類的視覺與 認知系統。 數字語言的豐富樣貌 現今，任何國家在書寫數字時，都採用相同的慣例，並以「十」為基數，只是數 字的形狀各有變化。例如中東國家並不使用我們的阿拉伯數字。伊朗人使用另一 套形狀代表「印度數字」。即使是在當地，標準的阿拉伯符號也開始攻城陷地。 所向披靡的程度與帝國主義或商業規範的建立均無關係。事實上，書寫計算的演 進之所以能夠開始步上統一道路，應歸功於位值代碼確實是現有的最佳符號。它 有太多令人豎指之處：精簡、僅須極少的符號、易懂易學、閱讀與書寫速度快、 演算簡易。凡此種種，都是這套數字符號能升格成全球通用符號的優點。的確， 任何的新發明似乎再也難改善它一二。 在口頭計算上，則從未有統一。雖然大多數的人類語言都有數字造句法，但它的 多樣性同樣令人震驚。不談別的，光是基數即千變萬化。在澳洲的昆士蘭，有些 原住民仍以「二」為計算基數：數字「一」為加納（ganar），「二」為柏拉（burla）， 「三」為柏拉加納（burla-ganar），四為柏拉柏拉（burla-burla）。在古老的蘇 美語言中，相反的，則是同時使用基數十、二十、六十。因此數字五千五百四十 六的表示法為「沙（三千六百）格斯烏艾斯（六十乘以十乘以三）格斯明（六十 乘以二）尼斯明（二十乘以二）阿斯（六）」，或 600＋60×10×3＋2×60＋2× 20＋6=5546。基數二十也獨霸一方：它統治了阿茲特克、馬雅、蓋爾語，直至今 愛斯基摩與優魯巴人仍使用基數二十。法文也有基數二十的蹤影。八十在法文中 為「quatre-vingt」（四個二十），而伊麗莎白時代英文中，也經常以 score（二十） 一字計物。 雖然現在基數十已攻占大多數語言，數字造句法仍是南轅北轍。而以簡單掛帥者 則以亞洲語言居多，如中文。中文文法完全反映十進位的結構。在這些語言中， 數字的名稱只有九個，分別是一至九（一、二、三、四、五、六、七、八、九）， 另外再加上四個乘數10（十）、100（百）、1000（千）、10000（萬）。敘述數字 時，中國人只須讀出基數十的解體。例如13是「十三」，27是「二十七」，因此 92547 為「九萬二千五百四十七」。 此種俐落的形式與英文或法文以二十九個字才能表達相同的數字大異其趣。在這 些語言中，數字十一至十九，以及從二十至九十的十的單位，都是以特殊的字 ( 如eleven、twelve、 twenty、thirty等 ) 表達，這些數字都不是能從其它數字 推測出來。法文更是如此，如「soixante-dix」（ sixty-ten 或 70 ），與 「quatre-vingt-dix」（ four-twenty-ten 或 90 ）。法文中的數字「一」還有令人 糊塗的省略與連結規則：「vingt-et-un」(二十與一)而不是「vingt-un」(二十一) ， 但二十二卻是「vingt-deux」而不是「vingt-et-deux」(二十與二)。而八十一卻又 是「quatre-vingt-un」，而不是「quatre-vingt-et-un」(四個二十與一)。同樣的， 100是「cent」而不是「un cent」(一個百)。另一個更超乎尋常的是，德文中有 系統的顛倒十的單位與個位數的用法，例如四百三十二的德文為 「vierhundertzweiunddreiBig」(四百二與三十)。 數字語言如此豐富與多樣會產生何種結果？所有語言都同等嗎？或者是部分數 字符號已經順應我們的大腦結構？某些特定國家，是否可能因數字系統，而在學 習數學上佔優勢？面對激烈的國際競爭，它可能是成敗的關鍵，因此，我們絕不 能等閒視之。身為成人，大多數的我們早已遺忘數字系統的複雜難學。多年的訓 練，讓我們馴服地接受英文的七十六應表達成「seventy-six」而不是「sixty-sixteen」 （六十十六）。因此，我們無法客觀地將我們的語言與其他語言相比較，必須仰 賴具有信服力的心理實驗，去測量不同數字系統的相對效力。令人訝異的是，這 些實驗一再證明，英文或法文是比亞洲語言來得劣等的語言。 說英文的代價 請大聲朗誦下列數字：四、八、五、三、九、七、六。現在，閉上眼睛默背這些 數字二十秒鐘，然後再大聲朗誦一遍。如果你的母語是英語，失敗機率約五成。 但如果你是中國人，幾乎可保證是百分之百成功。事實上，在中文，記憶的長短 可提高至九個數字，但在英文則頂多只有七個數字。為何會有差異？說中文的人 較聰明嗎？答案可能不對。但他們的數字讀音都來得較短。當我們記憶一長串數 字時，通常會以口頭記憶環結的方式去背誦(這也是何以在學習兩個讀音相近的 字時，會變得較難記憶的原因。如「five」與「nine」，或是「seven」與「eleven」。 此種記憶可儲存資料約兩秒，迫使我們須不斷覆述才能恢復記憶。我們記憶的多 少因此取決於我們能在兩秒中覆述多少個數字。能夠背誦較快的人，自然顯得記 憶力較佳。 中文數字相當簡短。大多數的中文數字都能以少於四分之一秒的時間讀出，如 「四」與「七」。反觀英文的對應數字則讀起來時間都要長些，約須三分之一秒 的時間。造成英文與中文記憶長度不同的，顯然是發音的長度。無論是威爾斯語、 阿拉伯語、中文、英文，或希伯來語，某種特定語言的數字發音時間與說話者的 記憶長度之間，皆存在一個拷貝再生的相互關係。在此領域中，由中文中的粵語 拔得頭籌。粵語的簡潔讓香港人可將記憶長度驚人地擴大至十個數字。 設若你不懂中文，仍不須為此感到絕望。有數項技巧能夠提升你的數字記憶能 力。訣竅一：以最小的字串去記憶數字。以數字八三四一二為例，我們會以一個 接一個的方式背誦這個數字，一如我們記憶電話號碼。訣竅二：試圖將數字重新 分組成二至三段。如果你將數字重新組合成三段或四段，往往可將記憶能力提高 至十二個數字。美國的電話號碼，先以三個數字的區域號碼為一段，再將其後的 七個數字分成三個數字、兩個數字、兩個數字三段，如「503 485 98 31」，即是 已運用了這項策略。相反地，在法國，我們的壞習慣是以兩個數字一組的方式敘 述電話號碼。例如，「85 98 31」，這可能是我們所知最不符合記憶效率的方法！ 訣竅三是將數字帶至熟悉的領域。將數字加減，或是熟悉的日期、區域號碼，或 任何其他你已熟悉的資料。如果你能以數個熟悉的物件重新整合數字，即能輕易 牢記它們。經過心理學家兩百五十個小時指導後，一位美國學生，利用重組的方 式，可以將他的記憶長度擴大至八十個數字。 運用這些指導原則，記憶電話號碼將輕易而舉。但除非你是中國人，你還是會倍 覺辛苦。數字名在計算時仍扮演要角，而符號欠佳可能導致語言產生較長的數字 名稱。例如，將一三四與八十八相加，操威爾斯語學生所花的時間，要比操英文 的學生長一秒半。如果年齡與教育相同，造成差異的，應該只有發音時間長短這 項問題，結果為：威爾斯語的數字發音果真較英文長得多。英文絕非最佳語言， 因有數項實驗指出，日本與中國的學童，在計算時，遠較同儕美國學生為快。 除了語言效果，計算的快慢與教育、上課時數、家長壓力等也密不可分 。(事實 上，有充分證據顯示，日本數學課的組織，在許多方面都較美國標準的教育系統 來得優越。) 儘管如此，從一些學前兒童語言能力的研究中，我們知道類似的許 多差異可以完全被忽略。所有兒童都得面臨發掘他們母語句法與文法的挑戰。當 他們只在「soixante-quinze」或「funfundsiebzig」的環境時，是如何知道法文或 德文的造句規則？法國兒童又是如何區分「cent deux」 (一百零二)與「deux cent」 (兩百) 的不同？即使有位兒童就是語言學家，根據美國語言學家的假設，人類 大腦天生就具備一個語言器官，協助我們學習最為深奧的語言規則，讓它成為直 覺的一部分，但數字規則的形成絕非一朝一夕，且隨語言的不同而互異。 以中文為例，一旦你在數字世界中學會了一至十，其他數字即可根據簡單的規則 誕生（如其後的數字即為十一、十二，依此類推至二十、二十一、二十二等）。 相反地，美國兒童則除了得強記一至十，還得背誦十一至十九的名稱，此外還得 加上所有從二十至九十的十進位名稱。 在一項有趣的實驗中，由美國與中國學生組成的兩組實驗背誦數字順序。令人大 感震驚的是，語言的差異竟然造成美國兒童在學習上落後中國同儕整整一年。平 均而言，中國的四歲兒童能從一數至四十，但同樣年齡的美國兒童，則只能痛苦 地數至十五。美國兒童在多花一年的時間後，約能數至四十或五十。美國兒童並 非整體性地落後中國兒童，在數至十二以前，兩組無分軒輊。但當學習特殊數字 「十三」與「十四」時，美國兒童突然遭遇絆腳石，但中國兒童則因規律的規則， 不須多費力氣即能駕馭這些數字。（圖4‧3） 實驗顯示，不透明的數字系統為語言學習敲起喪鐘。另一項來自數數的失誤。我 們一定都聽過美國兒童在背誦數字時，犯下如下的錯誤，「twenty-eight、 twenty-nine、twenty-ten、twenty-eleven」（二十八、二十九、二十十、二十十一）。 如此的文法錯誤，可以說是當初創造數字句法規則時，設想並不周全的遺跡，我 們就從未聽聞亞洲兒童會有此種錯誤。 數字系統的影響力深入往後的就學生涯。口頭中文數字的組織，與書寫阿拉伯數 字的結構完全一致。因此，中國學童在學習以十為基數的位值符號原則時，遭遇 較少的困境。科學家要求學生利用數個一，以及代表十的數個直桿組成數字二十 五。中國學童會毫不猶豫地選擇兩個直桿以及五個一，但相同年齡的美國學童則 表現各異。他們大多數會很辛苦地數二十五個一，完全未能利用基數十的捷徑。 更糟的是，如果科學家告訴他們一個直桿代表二十個一，他們使用這個直桿的次 數，要比兩個十的直桿來得多。由此，我們知道，美國學童似乎只關切「二十五」 這個字的表面形式，但中國學童則已學會更深一層基數十的結構。基數十在亞洲 語言中是一項透明的觀念，但它卻是西方學童的一個頭痛問題。 這些實驗結果代表一項強烈的結論：西方數字系統在許多方面都及不上亞洲語 言，不僅無法靠短期記憶牢記下來，減緩計算，且在學習計算與基數十上也更加 費力。根據文化選擇原則，一些奇奇怪怪的結構如法文中的 「quatre-vingt-dix-sept」（九十七）早應被淘汰出局。不幸的是，學校與學術界 的標準化努力，為語言的自然演進踩上剎車。如果兒童也有權利投票，對數字符 號進行大刀闊斧改革，改採中國的模式一定會舉雙手贊成。這樣的改革是否較命 運多舛的拼字改革來得可能實現？歷史中，我們曾有一次成功且重大的語言改 革：二十世紀初，威爾斯人心甘情願地放棄比現今法文還複雜數倍的舊數字系 統，代之以與中文類似的簡化符號。可惜，威爾斯人在改革中又犯下一大毛病： 新的威爾斯數字雖然文法變得相當規律，易於學習，但因數字名稱太長，記憶時 仍是苦不堪言！雖然心理實驗在在證明採行中文的數字系統才是上上策，但因與 國家利益相衝突，此種想法不是被束之高閣即是被列入不可能。 兒童不是鸚鵡 數字詞彙與句法的學習並非數字的全部。光是知道「兩百三十」是有效的英文詞 句，而「兩個三十與百」不是，並不見得有用。最重要的是，學童必須學習這些 數字的代表意義。數字系統的威力，部分來自能將語言符號與所代表的數量準確 連接在一起。兒童能將數字背誦至一百，但除非他同時也知道代表的大小與多 寡，否則他們只是鸚鵡而已。究竟兒童是如何學習「一」、「六」、「八」的意義呢？ 兒童面對的第一個基本問題為，如何將這些字或發音與數字聯想在一起，而不是 顏色、大小、形狀，或另一空間。想想「那三隻羊」與「那隻大羊」有何不同。 第一次聽到這兩個詞句，但不了解「三」與「大」意義的兒童，並不知道「大」 代表羊的體型，「三」則是這些羊的數字。 實驗顯示，在兩歲半時，美國兒童已知道數字與其他形容詞的不同。給他們看一 張只有一隻紅羊，與另一張有三隻藍羊的照片後，當科學家問「紅羊在哪裡？」， 兒童能很快指向第一張。在被問「三隻羊在哪裡？」時，他們也能自信的指向第 二張。這顯示兒童在此年齡，已知道「三」代表一個集合而不是單一物體。在此 年齡時，兒童也能正確地排列數字與其他形容詞，例如他們一定會說「三隻小 羊」，而不是「小三隻羊」。在此之前，兒童則已知道數字與其他文字有別。 兒童如何領悟這些？可能是他們摸索所有線索的結果，無論從文法或語意下手。 文法本身即可以是一大助力。假設一位母親告訴她的嬰兒：「你看，查理，三隻 小狗。」查理可能自我推理，「三」是一個特殊的形容詞，因為其他形容詞如「可 愛的」(nice)等，前面總是會多出一個冠詞如「那些可愛的小狗」(The nice little doggies.)。「三」之前不須添加任何冠詞，可能暗示「三」是所有小狗的集合， 因此它可能是一個數字或是量詞，如「一些」或「許多」。 當然，如此的推論對決定「三」這個字所代表的確切數量毫無幫助；因此，有一 整年，兒童只知道「三」是一個數字，但不清楚它的正確價值。當被下令，「給 我三個玩具。」大多數的兒童會抓起一堆，並不理會確實的數字。 如果我們讓 他們在兩個與三個一組的玩具作一抉擇，他們的反應還是會時對時錯，雖然絕對 不會犯下選擇只有一個物件的錯誤。兒童知道如何背誦數字，也能感覺這些數字 與數量有關，但仍會忽視這些數字的確切定義。 語意線索在跨越此階段上扮演較吃重的角色。有一回，很幸運地，嬰兒查理見到 了他母親所說的三隻小狗。他的知覺系統，我們在第二章已談過人類知覺系統的 高度智慧，會開始分析場景，並認出眼前有數隻動物。牠們的體型不大，有些吵 鬧，身體不斷在移動，數起來約是三隻。（在此，我不是指查理已知道數字「三」 適用於此刻的多數，我只是說查理內部的非語言累加器已開始達到一個圓滿完整 的狀態，也是典型的三個物件一組的狀態。） 基本上，查理所須做的，只是將這些他會說話前所看見的物體，與他所聽到的單 字相呼應。經過數週或數月，查理自會知道單字「三」並不適用於所有他看見的 小東西、也不是動物、動作或吵鬧聲。因此，數字單字與他在學習說話前的數字 呈現相結合，可協助查理決定單字「三」代表數字「三」。 此種相互關聯的過程可根據「對比原則」而加快速度，不同發音的單字具有不同 的定義。如果查理已知道單字「狗」與「小」的意義，對比原則將可確保查理雖 不知單字「三」的意義，但知道它和大小或是動物名稱不屬於同一類。將假設範 圍縮小，有助於查理更快地發現，此一單字代表數字三。 約略數字與確切數字 雖然兒童開始理解數字單字的確實定義，但仍須學習它在語言中的使用慣例。 其 中之一是區隔約略數字與確切數字。讓我先說一個笑話： 在自然史博物館中，一位參觀者問館長說：「這隻恐龍的歷史有多久？」館長答： 「七千萬零三十七年。」參觀者忍不住讚嘆起年代的準確性，館長解釋道：「我 已在此工作三十七年，而當我初任館長時，他們說這隻恐龍已有七千萬年歷史！」 《愛麗絲夢遊仙境》的英國作者與數學家卡羅(Lewis Carroll)以他獨具創意的文 字遊戲聞名全球。卡羅根據邏輯與數學創造他個人的文字遊戲，且經常喜歡在其 中添加「數字廢話」。以下是他另一本作品的一段： 布魯諾瞧見我們進來，說：「別打插，我正在數田野上有多 少隻豬。」 「有多少呢？」我問。 「約一千零四隻。」布魯諾答。 「你是指約一千隻。」席薇糾正說。「說『零四』已無意義：你不確定是否是四 隻！」 「你又錯了！」布魯諾得意地宣稱。「只有那四隻我很確定，因為牠們就在窗下 吃草，是那一千隻我並不確定。」 這段對話為何顯得牛頭不對馬嘴？因為它們違反了掌管數字所使用的隱藏通 則。根據規則，只有某種名為「約略數字」的特定數字，可用於代表大概的數量， 所有其他數字則必須有準確的定義。當有人說有隻恐龍有七千萬年歷史，其中隱 含的意義是以千萬來理解的。這項規則代表一個數字的準確程度，是從右邊算起 的最後一個零為準。如果我說墨西哥市人口為三千九百萬人，其意義為這個數字 的準確範圍是在一百萬人以內；因此，如果我給你的數字是三千九百四十五萬兩 千居民，我等於是承認人口的準確度以千為標準。 這項慣例有時會出現矛盾的情況。當一個準確的數字恰好與整數不謀而合時，光 是直敘性的表達並無法充分傳達它的意義，此時即有必要添加一個動詞或是習慣 用詞，說明它的準確性。例如，「現今的墨西哥市人口恰好是三千九百萬」。同理， 我們能夠接受「十九約是二十」，但卻無法接受「二十約是十九」的說法。「約是 十九」是一個矛盾的說法，既是約是，又何必使用十九這樣的數字？ 全球語言似乎都有一套選擇整數的用法。何以全球語言都具有這項共通性？可能 是因人的大腦裝置相同， 因此在將大數量概念化時所遭遇的瓶頸也近似？數字 愈大，在我們大腦中的呈現也愈不準確。假設語言要能成為忠實表達思想的工 具，就必須加裝能夠表達這項愈來愈不確定性的設計。整數即是此種設計之一。 傳統上，他們代表約略的數量。當我們說「這間教室有二十位學生」時，無論教 室內只有十八或二十二位學生都不算錯，因為「二十」這個數字，是可以在數字 線上前後移動，擴大意義範疇的一個數字。這也是何以操法文者覺得「十五天」 代表「兩週」，雖然正確數字應是十四天。 根據語言學家分析，兩個數字的結構有其特定的隱藏結構。並非所有的間隔都能 被接受。兩數中至少有一個必須是約略數字：我們可以說「二十或二十五美元」， 但不能說「二十一或二十六美元」。同時，另一個數字必須是類似的大小規模： 如果我們說「一萬或一千美元」，聽起來會極不順耳。卡羅書中有一段對話可以 用來說明此點： 年輕女士追問：「你來自多遠的地方，親愛的？」 席薇一臉迷惑。「一或兩哩，我想。」她略顯遲疑的說。 「一或三哩。」布魯諾說。 「你不該說一或三哩。」席薇立刻糾正他。 年輕女士點頭同意。「席薇說的對。我們平常不會說一或三哩。」 「如果我們經常這樣說的話，就會變得很平常。」 布魯諾是錯的，「一或三哩」聽起來永遠不對，因它違反了兩個數字結構的基本 規則。如果是從我們想要溝通的角度去考慮，這些規則的存在是可以理解的。這 些呈現是我們大腦數字線上的模糊間隔，當我們說「二十元或二十五元」時，我 們真正的意思是為「我的大腦累加器的一個特定模糊狀態，約是二十，但差距約 是五」。二十一至二十六或是十至一千，一至三也都不是大腦累加器能夠覺得有 道理的狀態，前者太準確，後兩者又太不準確。 何以有些數字出現率較高？ 想打個賭嗎？隨意翻開一本書，留意你所見到的第一個數字。如果數字是四、五、 六、七、八，或九，你便贏得十美元。如果數字是一、二，或三，那麼是我贏。 大多數的人都願意賭上一賭，因為他們認為自己賭贏的機率是六比三。但如果你 這樣想，準輸無疑。無論你相不相信，數字一、二、三，出現在印刷品的機率是 所有其他數字總和的兩倍！ 這是一項與直覺背道而馳的發現，我們都以為，所有數字的出現率都差不多。但 我們忽略了印刷品上的數字，其實並非是一個能夠任意產生數字機器的產物。每 個在印刷品上的數字，代表一個大腦希望傳達給另外一個大腦的數字訊息。因 此，每個數字的出現頻率，部分取決於我們的大腦如何能夠輕易地呈現相對數 量。大腦呈現數字的準確性降低時，不單會影響我們的知覺，同時也會影響數字 的產生。 梅勒和我有系統地從單字頻率表中尋找數字單字。此種頻率表專門計算某一特定 單字的出現頻率，例如「五」這一數字出現在書寫或口語的頻率。許多語言都有 此種頻率表，從法文乃至日文、英文、德文、加泰隆尼亞語、西班牙語，或甚至 坎那達語，斯里蘭卡與印度南部的德拉威語都有。所有這些語言，儘管文化、語 言、地理形形色色，但都有一共同點：數字的出現頻率的規律性，隨著數字的加 大而減少。 以法文為例，單字「un」（一）約是每間隔七十個字出現一次，「deux」（二）約 是每間隔六百字，「trois」約是每間隔一千字等。換言之，出現頻率從一至九遞 減，從十一至十九，十的倍數從十至九十也是如此。就阿拉伯數字而言，無論是 書寫或口頭，都有類似的頻率遞減現象，即使是序數「第一」至「第九」也不例 外。當中還存在數個特例，而連這些特例都是全世界皆然：數字「零」出現的頻 率極低，數字十、十二、十五、二十、五十、一百則有頻率提高的跡象。這些跨 語言而存在的規律性令人嘖嘖稱奇，想想看數字語言的差異性何其大，例如荷蘭 文中十位數與個位數倒置，法文中七十、八十、九十含有基數二十等，但卻有相 同的高出現頻率數字。 我要再次強調，這些語言的規律性，反映的是我們大腦呈現的數量。但在妄下斷 語前，我們還是應檢視一下其他幾個替代的解釋。含有兩種以上意義可能是這項 發現的一個可能來源。在許多語言中，單字「一」與不定冠詞「a」無法區分。 這可能是法文「un」(代表一或不定冠詞)這一字出現頻率偏高的主因，但顯然英 文並非如此。英文中的「one」(一)只是一個數字，不作不定冠詞用。兩種以上 意義在「二」以後即無此困擾，但其後的數字出現頻率也大為降低。 另一因素是我們的計算習性，我們環境中的許多物件都是從一開始計算。在任何 城市，門牌號碼是一的房子一定遠多於一百，因為所有街道一定有一號的房子， 但不見得有一百號的房子。此種結果同時也造成小數字的使用率提高。 我們對此種結果，提供純粹的數學解釋。很少有人知道下列這一相當違反直覺的 數學定律：在任意挑選數字的情況下，從一開始，要比九來得頻繁。此獨特現象 稱為班佛德定律。班佛德 ( Frank Benford )是美國的物理學家，他發現一個奇 怪現象：在大學的圖書館內，對數表的頭幾頁磨損得很厲害，後面的頁數則不見 得。查閱對數表自然不應像閱讀一本彆腳小說一樣，讀到一半即意興闌珊。但為 何他的同事查閱前幾頁的機會比後幾頁來得多?是因小數字的使用率高於大數字 嗎?為解開自己的迷惑，班佛德發現，所有有來歷的數字，如美國湖泊面積、同 事的門牌號碼、整數的平方根等，以一開始的數字是以九開始數字的六倍。約百 分之三十一的數字是以一開頭，百分之十九是二，百分之十二是三，隨著數字的 加大，百分比也遞減。因此，以數字n開始的或然率為 P(n)=log10(n＋1)－ log10(n)。 班福德的定律當然可以說是自然語言中，小數字出現頻率高的原因之一，但它的 解釋能力仍相當有限。這項定律只適用於多數字中的最左邊一個數字，因此它對 我們所提的一至九的數量，並無任何影響力。根據梅勒和我的度量，其實道理很 簡單，即是人類大腦認為談論數量一要比數量九來得重要。與班福德定律相反， 此真相與多位數字的產生毫無關係。 如果小數字的誕生並不是因數字符號文法而來，它會是大自然的產物嗎？在我們 環境中，小數字的物件不是多得出奇嗎？舉一例說，現代人討論孩子的數目，通 常只需要三或四以下的數字﹗但在數字出現率隨著數字加大而變少的普遍解釋 上，這項說法被誤導了。哲學家佛瑞吉(Gottlob Frege)與昆恩(W.V.O. Quine)長 久以來始終主張，從客觀觀點而言，在我們環境中，小數字的出現率不見得比大 數字高。在任何情況下，任何事物都可被計算到無限。但何以我們喜歡說一副牌， 而不是五十二張牌？這個世界主要是由小數字組成的想法，是我們的知覺與認知 系統強加諸於我們的錯覺。大自然並未如此做，無論我們的大腦怎麼想。 為證明此點，但又不訴諸哲學辯論，我們現在來看一些以數字為字首的單字分 布，如「bicycle」（bi意義為二，cycle 為圓。單字意義為自行車）或「triangle」 （tri 為三，anglen為角，單字意義為三角形）。就如同「二」出現的機率高於 「三」，因此以「bi」（或di，duo）為字首的單字也多於以「tri」為首的單字。 更重要的是，此種情況在公認的，小數字應不會受到環境左右的領域中仍是如 此。以時間為例。我的英文字典中，有十四個時間單字是以「bi」或「di」（從 biannual一年二次到 diestrual）為字首，但只有五個單字以「tri」為字首（從 triennial 三年一次到 triweekly 三星期一次），以代表四這個數字為字首的單字 也是五個，但數字五的單字則只有兩個〔不常見的（quinquennial五年）與 （quinquennium五年期間）〕。因此，隨著數字的擴大，數字字彙化也減少。這 可能是環境造成的嗎？因為，在我們生活的自然世界中，每間隔兩個月會再度發 生一次的事件不多。但情況並非如此。真正的罪魁禍首是我們的大腦，它對小數 字或整數會自然付出較多的注意力。 如果小數字的字彙可以在不受環境影響的情況中出現，我們也可反過來說，有時 候，外在傾向無法與字彙相結合。許多交通工具都是四輪而不是兩輪，但何以只 有以二為字首的單字（bicycle），卻無以四為字首的單字（quadricycle）？全球 的數字規則似乎只有在數字夠小的時侯，才可能產生字彙化。例如，在三葉植物 中，我們有以三為字首的單字（ trifoliate 三片葉，trifolium 車軸草屬，法文中 的 trefle 三片葉），但其他有固定葉片或更多葉片與花瓣的植物或花卉，卻並無 以數字為首的單字。類似 octopus（章魚，八隻腳的動物）等，以確切的數字為 動物命名的單字也屈指可數。我再舉最後一個例子。蜈蚣有二十一節身體，四十 二隻腳的節足動物，但蜈蚣的英文單字為 centipede（一百隻腳），法文單字為 mille-pattes（一千隻腳）！顯然，我們對數字規則的注意力，僅限於它們能適合 我們的認知裝置，人類的知覺傾向則是偏向小數字與整數。 人類語言深受一套非語言數字呈現系統的影響，此點和動物與嬰兒相同。我個人 認為，單是此點，即足以解釋何以數字愈大，使用頻率降低會成為全球語言現象 的原因。由於數字變大時，我們大腦數字線在呈現數字時，準確度會隨著降低， 因此我們表達小數字的機會比大數字來得頻繁的多。數量愈大，我們的大腦數字 呈現愈模糊，而我們也比較不會感覺有必要準確地去表達那個數量。 整數是特例，因為他們可引用於整個的大小範圍。這也是何以十、十二、十五、 二十、一百等數字的使用率，要比它們的鄰近數字為高的原因。整體而言，無論 是數字愈大使用頻率愈低，或是整數是特例，所有這些現象，我們都能以大腦內 部的數字線加以標識（圖4‧4）。情形有如兒童學習語言，他們學會給予每一大 小範圍一個名稱。他們發現，單字「二」可應用於一個他們天生即知的知覺表象； 單字「九」則只和確切的數量九有關，但很難確切加以呈現；同時，人類經常喜 歡以單字「十」代表五至十五的任何數量。因此，人類說單字「二」與「十」的 機會多於「九」，也因此有數字出現頻率不同的規則。 最後得再說明一項細節﹕我們的研究結果顯示，在所有西方語言中，數字十三的 使用頻率定然低於十二或十四。這顯然是「撒旦十三」的迷信作祟，也因數字十 三被賦予邪惡的力量，許多美國摩天大樓都不設十三樓。在印度，由於當地無此 迷信，數字十三的使用頻率因此並未出現明顯下降。數字使用頻率顯然忠實地反 映精神生活中的重要性，即使是最微不足道的細節。